Ktoś to opisał na przykładzie 12 kul:
Rozwiązanie zagadki

Wiemy, że mamy 12 kul i 3 ważenia, podczas których musimy odnaleźć jedną kulę o innej wadze. Załóżmy, że kule leżą w rządku i możemy je ponumerować od 1 do 12. Przy pierwszym ważeniu na lewej szali kładziemy te o numerach 1, 2, 3 i 4, a na drugiej 5, 6, 7 i 8. Na tym etapie nie ma znaczenia czy waga się wychyliła, czy nie. Od razu przechodzimy do drugiego ważenia. Tym razem na lewej szali lądują kule o numerach 1, 9, 10 i 11, a na drugiej 2, 3, 4 i 8. Do ostatniego ważenia bierzemy tylko dwie kule, a ich numery są zależne od tego, co zaobserwowaliśmy podczas pozostałych ważeń. I tak:

- jeśli przy obu ważeniach była równowaga, to do ostatniego używamy kuli numer 12 i jakiejkolwiek innej. Wynik będzie oczywisty.

- jeśli w pierwszym ważeniu będzie równowaga, a w drugim lewa szalka pójdzie w dół, to jasne będzie, że kula o innej wadze (w tym wypadku cięższa) będzie wśród cyfr 9, 10 i 11. W ostatnim ważeniu na lewą szalkę kładziemy numer 9, a na prawą 10. Jeżeli któraś z nich wychyli szalkę w dół, to będzie szukaną kulą, a jeżeli między nimi będzie równowaga, to cięższa będzie kula numer 11. Analogicznie, kiedy w drugim ważeniu lewa szalka pójdzie do góry, to felerna kula będzie lżejsza od pozostałych.

- jeśli w pierwszym ważeniu prawa szalka pójdzie w dół, a w drugim będzie równowaga, to szukana (w tym przypadku cięższa) będzie kula spośród 5, 6 i 7. Odszukujemy ją tak samo jak w poprzednim punkcie.

- jeśli w pierwszym ważeniu lewa szalka pójdzie w dół, a w drugim tak samo zachowa się prawa, to szukana (cięższa) kula będzie miała numer 2, 3 lub 4. Dalej sprawdzamy tak, jak powyżej.

- jeśli podczas obu ważeń lewa szalka pójdzie w dół, to do ostatniego ważenie bierzemy kulę numer 1 oraz jakąkolwiek inną, byle nie numer 8. Jeżeli jedynka znowu pójdzie w dół, to będzie to szukana kula, a jeśli odnotujemy równowagę, to felerna (lżejsza) będzie kula numer 8.

- jeśli podczas obu ważeń prawa szalka pójdzie w dół, to do ostatniego ważenie bierzemy kulę numer 8 oraz jakąkolwiek inną, byle nie numer 1. Sytuacja identyczna jak punkt wyżej.

Zdanie jest wykonalne i dla potwierdzenia przedstawmy wzór, który to potwierdzi:
p = [(3n - 1) / 2] – 1
p – w tym przypadku oznacza ilość kul
n – w tym przypadku oznacza ilość ważeń
jedynka w nawiasie zwykłym to jedna kula, którą chcemy znaleźć
Sprawdzamy:
12 = [(33 - 1) / 2] – 1
12 = 12
Równanie jest prawidłowe, więc i zagadka musi mieć rozwiązanie. Przedstawiliśmy tylko jeden ze sposobów jak tego dokonać."

Źródło: http://www.jak-to-zrobic.pl/index.php/a/3/b/5/c/29/d/0/id/1262

Nie do końca zrozumiałeś o co mi chodzi.
Jest 12 mężczyzn z czego jeden ma inną wagę od reszty.
Jeśli wiemy że ten jeden jest cięższy od innych to zagadka jest rozwiązywalna.
Jeśli natomiast nie wiemy czy ten inny jest cięższy czy lżejszy od innych to zagadka jest nie rozwiązywalna w 3 ruchach.

No przecież to właśnie jest opisane w tym przykładzie. Gdyby jeden był lżejszy/cięższy to rozwiązanie byłoby banalne.

Jeśli wiemy czy 12 mężczyzna jest ciężczy czy lżejszy to zagadka jest banalnie prosta. Gdy nie wiemy (czyli tak jak w odcinku) to jest nieco trudniejsza, ale nadal wykonalna i prawdopodobnie powyższy opis od KubaOneSeven to wyjaśnia, ale jest on tak zagmatwany, że zrezygnowałem po 2 akapitach... Problemem są dwie rzeczy - od samego początku komplikuje on sprawe (jeśli pierwsze ważenie jest zrównoważone to drugie ważenie można od samego początku zawęzić do pozostałych 4 osób i połowa analizy jest z bani), a potem zamiast opisywać ogólny przypadek (czyli to że nie wiemy czy osoba jest cieższa czy lżejsza) opisuje jeden z nich, dodaje "analogicznie jest gdy jest odwrotnie", a potem kompletnie zapomina o drugim przypadku. Ale tak jak mówię - do miejsca, które przeanalizowałem wydaje się, że idzie to w dobrą stronę.
Ja jednak zwrócę uwage na równanie. Skąd ono się wzięło? Na jakiej teorii bazuje? I czemu ma aż 2 tragiczne błędy w obliczeniach? (najpierw 'n' jest zastąpione przez 3 tworząc '33'; potem nagle wychodzi 12=12 podczas gdy prawa strona wcale nie jest równa 12... Jest równa 3 jeśli poprawnie podstawimy wartości oraz 15 jeśli błędnie zrobimy z 3n -> 33). Wiem że to cytat, ale z całości wygląda on najczytelniej a mimo to jest blędny i wzięty z kosmosu, więc podważa cały wcześniejszy opis...

Wydaje mi się, że podane rozwiązanie nie przedstawia wszystkich możliwych przypadków, a co za tym idzie nie jest rozwiązaniem zagadki. W każdej próbie musimy zważyć 4 kulki na każdej szali, żeby miał zastosowanie każdy, możliwy scenariusz.

Nie wiem, nie dalem rady przebrnąć przez ten opis, ale spróbuje rozpisać to tak jak sam rozumiem rozwiązanie.
Ważenie 1 - kulki 1,2,3,4 kontra 5,6,7,8. Jeśli mamy równowagę to idziemy do punktu 2a, jeśli jedna strona jest wychylona to do punktu 2b
(2a) - chyba najprostsza sytuacja - zostały nam kulki 9,10,11 i 12, więc musimy zważyć dwie dowolne (np. 9 i 10), a po nich zamienić jedna z kulek z wagi na jedną z pozostałych (np. 10 na 11, więc w 3 ważeniu mamy 9 kontra 11). I teraz w zależności od wyniku ważenia 2 i 3 mamy odpowiednio:
- 2 równowaga, 3 równowaga -> "inna" kulka to 12
- 2 równowaga, 3 wychylenie -> "inna" kulka to 11 (kierunek wychylenia powie nam dodatkowo czy ta kulka jest cięższa czy lżejsza, ale to nie istotne)
- 2 wychylenie, 3 równowaga -> zdjęliśmy "inną" kulkę, więc jest to 10
- 2 wychylenie, 3 wychylenie -> zostawiliśmy na wadze "inną" kulkę, więc jest to 9

(2b) - tu będzie troche trudniej, ale podobnie do przykładu z wcześniejszego komentarza - na drugie ważenie musimy najpierw zamienić po jednej kulce po obu stronach wagi ze sobą (np. 4 z 5), a potem z jednej strony wagi trzeba zdjąć pozostałe 3 kulki i zastąpić je dowolnymi kulkami z trzeciej grupy (np. 6,7 i 8 z 9,10 i 11). Drugie ważenie wygląda wtedy tak: 1,2,3,5 kontra 4,9,10,11. Dlaczego? 3 ostatnie kulki (9,10,11) na pewno są równe, co dowiodło wychylenie z pierwszego ważenia, więc po prawej stronie niewiadomą pozostaje kulka numer 4. A po lewej nie wiemy nic. Ważymy i:
- jeśli waga pozostaje w takim samym wychyleniu to znaczy, że zamiana kulek 4 i 5 nic nie dała i "inna" kulka to 1,2 lub 3 i to badamy w trzecim ważeniu. Tu istotna jest informacja o tym w którą strone były wychylenie do tej pory, bo w 3 ważeniu kierunek wychylenia wskaże "inną" kulkę (a równowaga oznacza że nieważona kulka jest "inna")
- jeżeli waga wychyli się w przeciwnym kierunku wtedy wiemy, że "inna" jest kulka numer 4 lub 5, bo to one zostały zamienione stronami. W 3 ważeniu wystarczy porównać jedna z nich do dowolnej równej kulki - jeśli będzie równowaga to nieważona kulka jest "inna"; jeśli wychylenie pozostanie to niezdjęta kulka jest "inna"
- jeżeli waga wróci do równowagi wtedy wiemy, że jedna ze zdjętych kulek (6,7,8) musi byc "inna" i postępujemy tak samo jak 2 punkty wyżej (kulki 1,2,3) - pamiętamy o wychyleniu z pierwszego ważenia i badamy dwie z tych trzech kulek - wychylenie w tym samym kierunku co wcześniej wskazuje "inną" kulkę, a równowaga wskazuje na tą, której nie ważyliśmy.

Jestem pewny, że da się to zrobić za każdym razem ważąc po 4 kulki z każdej strony, ale to tylko komplikuje zrozumienie rozwiązania. I być może istnieje inne rozwiązanie, które nie jest odpwiednikiem tego co opisałem, ale ja się z takim nie spotkałem.

Ja dopiero pojąłem to jak obejrzałem tutorial na YT z rozbiciem na czynniki pierwsze. Co jak co, ale jest to bardzo trudna zagadka. Zresztą sam Raymond Holt nie dał rady :)