Jej rodzice to para aktorska  Sheila Hancock i Alec Ross. Po śmierci męża, Sheila Hancock wyszła ponownie za mąż. Jej mężem został John Thaw, który oficjalnie adoptował Melanie, która przyjęła jego nazwisko.

W 1987 roku ukończyła Królewską Akademię Sztuki Dramatycznej (Royal Academy of Dramatic Art - RADA) w Londynie (Anglia,Wielka Brytania).