Celina Klimczak w roku 1935 zdała aktorski eksternistyczny egzamin ZASP. Zaczęła grać w teatrach. Przed wojną była aktorką Teatru im. Słowackiego w Krakowie (w latach 1936-1936). Następnie grała w Teatrze Objazdowym Samorządów Województwa Białostockiego z siedzibą w Grodnie (w latach 1937-1938) oraz w objazdowym Teatrze Wołyńskim z siedzibą w Łucku (w latach 1938-1939). W okresie okupacji aktorka... mieszkała w Krakowie, gdzie brała prywatne lekcje gry aktorskiej u J. Osterwy. Od 1945 do 1947 roku była aktorką Teatru im. Słowackiego, a w sezonie 1947/48 Teatru Polskiego w Bydgoszczy. W sezonie 1948/49 grała natomiast w Teatrze Ziemi Pomorskiej w Toruniu. Od 1949 do 1959 roku była aktorką Teatru Powszechnego w Łodzi. W sezonie 1959/60 opuściła Łódź i przeniosła się na Śląsk, gdzie występowała w Teatrze Nowym w Zabrzu. Od 1961 do 1964 roku grała w Teatrze im. Siemaszkowej w Rzeszowie. W 1964 roku Celina Klimczak powróciła do Łodzi, gdzie do końca życia grała w Teatrze Nowym.