Spadając nigdzie się nie przenieśli. Wpadli do jakiegoś podziemnego jeziora, skąd potem starali się wydostać z powrotem na górę. Balrog znalazł 'nieskończone schody', czyli szlak na górę Celebdil (szczyt sąsiadujący z Caradhras), a Gandalf poszedł w ślad za nim. Na szczycie znów bitwa i oboje zginęli. Więc ów "innym wymiarem" jest po prostu stan śmierci.
((A czy Gandalf umarł jako człowiek czy jako majar, to już bardziej problematyczna sprawa))

Ludzka powłoka Gandalfa umarła z wyczerpania, ale jako Majar przeżył. Władcy Valinoru nadali mu nowe ciało materialne, aby dokończył misję

To byłoby najlogiczniejsze, ale nie sądzę że można tu mieć pewność. Kwestią jest że "śmierć" majara nie powinna wyglądać tak jak opis Gandalfa. A czy Valinor czy Eru był odpowiedzialny za jego powrót też nie jest tak jasne.

Cytując list Tolkiena:
" Został przysłany zgodnie z rozważnym planem anielskich Valarów czy też zarządzających, lecz Władza podjęła ten plan i rozszerzyła go w chwili, gdy się nie powiódł. „Nagi zostałem przywrócony światu na krótki tylko czas, póki nie dopełnię swego zadania". Przez kogo i skąd przywrócony? Nie przez „bogów", którzy zajmują się tylko tym ucieleśnionym światem i jego czasem; Gandalf bowiem „stracił świadomość i rachunek czasu". "

Jeśli "Władza" to Eru, a Gandalf znalazł się poza światem i czasem, nie mogła być to zwykła "śmierć" majara, bo ta jest zwyczajnym opuszczeniem (martwego) ciała (z ogromnym uszczerbkiem na mocy).