Andrei Voznesensky urodził się 12 maja 1933 roku w Moskwie (ZSRR, obecnie Rosja). Podczas II wojny światowej wraz z matką został ewakuowany do syberyjskiego miasta Kurgan, a jego ojciec służył w oblężonym przez nazistów Leningradzie. Po zakończeniu wojny Voznesensky powrócił do rodzinnej Moskwy w celu kontynuowania nauki.
W 1947 roku Andrei wysłał swoje wiersze do
Borisa Pasternaka, wkrótce stał się jego uczniem. Utrzymywał także kontakty z futurystycznym poetą Semenem Kirsanovem. W latach 1952-1957 studiował w moskiewskim Instytucie Architektonicznym. Przed ukończeniem studiów miał miejsce pożar, w którym spłonęły wszystkie jego projekty. Voznesensky wierzył w symbolikę tego pożaru. Porzucił architekturę dla poezji. Jego pierwsze publikacje w 1958 i 1959 roku stały się sensacją i były wysoko cenione przez
Borisa Pasternaka. Voznesensky, razem z
Jewgienijem Jewtuszenko i
Bellą Akhmaduliną, stał się najbardziej znanym rosyjskim poetą w czasie radzieckiej "Odwilży" rozpoczętej przez
Nikitę Chruszczowa.
W 1960 i 1961 roku odwiedził kraje europejskie i USA. Jego wiersze zwróciły uwagę
Johna Kennedy'ego i
Marilyn Monroe. Tak duży sukces międzynarodowy wzbudził zazdrość i oskarżenia w Moskwie. W 1963
Chruszczow groził Voznesensky'emu na oficjalnym spotkaniu na Kremlu. Poeta przeszedł poważne załamanie nerwowe. Na skutek telefonicznej interwencji
Kennedy'ego Chruszczow przestał nękać artystę.
W okresie neostalinizmu, za czasów
Leonida Breżniewa, Voznesensky był pod ścisłą obserwacją i cieszył się równie dużym zainteresowaniem ze strony KGB, jak i koneserów poezji. Jego sztuka "Zachowajcie swoje twarze" była wystawiana przez reżysera Yurija Lyubimova w Teatrze na Tagance w 1964 roku i natychmiast została zakazana. Inna jego sztuka "Antyświaty" była debiutem teatralnym znanego rosyjskiego pieśniarza
Władimira Wysockiego.
Publikacje poety były bardzo popularne, ponad pół miliona czytelników kupiło jego książkę "Serce Achillesa". Jego przedstawienia, na które zawsze przychodził komplet widzów, były uznawane, tak w Rosji, jak i za granicą za wielkie wydarzenia kulturalne. Wraz ze swoimi kolegami "pokolenia lat 60." odegrał ważną rolę w wyzwoleniu zbiorowej świadomości po latach dyktatury
Józefa Stalina. Był zagorzałym obrońcą wolności słowa i praw człowieka w ZSRR. Popierał humanitarną postawę
Andreia Sakharova i
Yeleny Bonner. W 1979 roku Voznesensky dołączył do Wasilija Aksjonowa i
Belli Akhmaduliny oraz innych autorów w literackim almanachu "Metropol", który natychmiast został zakazany przez radzieckich cenzorów.
Voznesensky wniósł swój wkład do kultury popularnej tworząc pierwszą rosyjską operę rockową "Yunona i Avos" z 1980. Była ona wystawiana w moskiewskim Teatrze Lenkom przy współpracy z kompozytorem
Alekseiem Rybnikovem i reżyserem
Markiem Zakharovem. Voznesensky napisał również międzynarodowe przeboje, takie jak: "Million Roses" i inne we współpracy z kompozytorem
Raimondsem Paulsem i piosenkarką
Ałłą Pugaczową. Artysta zmarł 1 czerwca 2010 roku.