Raczej nie.
Na pewno nie ma nic o Voldemorcie. Pojawia się co najmniej jeden stworek, który był wspomniany w sadze o HP (niuchacz, w sadze o HP mieli z nim kiedyś zajęcia na opiece nad magicznymi stworzeniami).
Jest wspomniana postać Albusa Dumbledora. Na podstawie Fantastycznych Zwierząt powstała też teoria dotycząca siostry Albusa, która jest wspomniana w HP, ale nie będę za bardzo spoilerować.
Wydaje mi się, że znajomość książek/filmów o HP nie jest konieczna, żeby zrozumieć Fantastyczne zwierzęta. Gorzej, gdyby ktoś chciał porównywać to ze sobą - w HP czarodzieje raczej nie dawali sobie rady bez różdżek a w Fantastycznych Zwierzętach nie wydaje się one być konieczne by czarować.
nieduże. Wspominają coś o Albusie jako nauczycielu, o Grindelwaldzie, że Hogwart jest najlepszą szkołą magii, jest też coś o Lestrangach,plus właśnie niektóre zwierzęta znane z HP - niuchacz, nieśmiałki, buchorożec...