Pochodzi z rodziny bośniackiej. Jego matka jest profesorem muzyki, ojciec pracuje w telewizji. Tanović zainteresował się kinem i filmem już jako mały chłopiec. Pod presją matki rozpoczął studia w konserwatorium, jednak szybko z nich zrezygnował. Rozpoczął naukę w szkole filmowej w Sarajewie, którą kontynuował do 1992 roku - do wybuchu wojny domowej. Tanovic przez 2 lata dokumentował wydarzenia, które się tam wtedy rozgrywały, filmując poczynania bośniackiej armii. W 1994 roku wyjechał z kraju, by rozpocząć studia w Belgii, a z wcześniejszych materiałów nakręconych w ojczyźnie zrealizował film dokumentalny "Budenje" i kilka filmów krótkometrażowych. Jego nazwisko stało się znane, gdy doceniono zrealizowany przez niego film "Ziemia niczyja", który odniósł wiele sukcesów na wielu festiwalach. O sukcesie tego filmu jak i o wybitnym talencie reżyserskim i scenopisarskim może świadczyć również Oscar, którego Tanovic otrzymał w kategorii najlepszy film nieanglojęzyczny oraz fakt, że był on w 2003 roku jednym z członków jury na Festiwalu Filmowym w Cannes. Komponuje muzykę do własnych filmów. Mieszka razem z żoną w Paryżu.